Глава iii. равновесие при наличии трения

Выбираем систему координатных осей Oxyz (рис. 48) и вычисляем проекции главного вектора как алгебраические суммы проекций всех заданных сил на выбранные оси:

По найденным проекциям, откладывая соответствующие отрезки вдоль координатных осей (с учетом знака проекции), строим прямоугольный параллелепипед. Направленная диагональ, проведенная из начала координат в противоположную вершину параллелепипеда, определяет главный вектор R (см. также рис. 26).

Модуль и направляющие косинусы главного вектора определяются следующими вытекающими из построения формулами:

Совершенно аналогично определяются проекции, модуль и направляющие косинусы главного момента:

К формулам для вычисления проекций главного момента необходимо привести следующие пояснения.

Главный момент, по определению, есть векторная сумма моментов всех сил центра О. Следовательно, его проекции на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций на эти оси векторов-моментов сил относительно центра О, то есть величин

Но эти величины, по определению момента силы относительно оси, являются моментами сил относительно соответствующих координатных осей:

Отсюда непосредственно следуют написанные выше выражения для величин .

Косинус угла между главным вектором и главным моментом определяется так:

Формула получается следующим образом. По определению скалярного произведения векторов R и имеем:

С другой стороны, эта же величина может быть вычислена через проекции векторов-сомножителей:

Приравнивая правые части и разрешая полученное уравнение относительно coscp, приходим к написанной формуле.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил. Случай параллельных сил.

Для равновесия любой плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия: R = 0, M 0 = 0.

Здесь О - любая точка плоскости.

Найдем вытекающие из равенств аналитические условия равновесия.

Величины R и М о определяются равенствами:

Равенства выражают, следующие аналитические условия рав­новесия: для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каж­дую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

Теорема о трех моментах. Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю.

Равновесие плоской системы параллельных сил.

В случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, мы можем направить ось Ох перпендикулярно к силам, а ось Оу параллельно им (рис. 29). Тогда проекция каждой из сил на Ox будет равна нулю и первое из 3-х равенств обратится в тождество вида 0 = 0. В результате для параллельных сил останется два условия равновесия:

Где ось Оу параллельна силам.

11. Равновесие тела при наличии трения скольжения

Если два тела I и II (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А, то всегда реакцию R A , действующую, например, со стороны тела II и приложенную к телу I, можно раз­ложить на две составляющие: N A , направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке А, и Т А, лежащую в касательной плоскости. Составляющая N A называется нормальной реакцией, сила Т А называется силой трения скольжения - она препятствует скольжению тела I по телу II. В соответствии с аксио­мой 4 (третьим законом Ньютона) на тело II со стороны тела I дей­ствует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной пло­скости, называется силой нормального давления. Сила трения Т А = 0, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя. Максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т. е. T max =fN. (6.3)– закон Амонтона-Кулона. Коэффициент f называется коэффициентом трения скольжения. Его значение не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверх­ностей. Силу трения можно вычислить по ф-ле T=fN только если имеет место критический случай. В других случаях силу трения следует определять из ур-ий равнов. На рисунке показана реакция R (здесь активные силы стремятся сдвинуть тело вправо). Угол j между предельной реакцией R и нормалью к поверхности называется углом трения. tgj=T max /N=f.

Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции R образует коническую поверхность - конус трения (рис. 6.6, б). Если коэффициент тре­ния f во всех направлениях одинаков, то конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения f зависит от направления возможного движения тела, конус трения не будет круговым. Если равнодействующая активных сил. нахо­дится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя нарушить равновесие тела; для того чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил F находилась вне конуса трения. Рассмотрим трение гибких тел (рис.6.8). Формула Эйлера помогает найти наименьшую силу P, способную уравновесить силу Q. P=Qe -fj* . Можно так же найти такую силу P, способную преодолеть сопротивление трения вместе с силой Q. В этом случае в формуле Эйлера поменяется только знак f: P=Qe fj* .

Равновесие при наличии трения скольжения

При скольжении тела по шероховатой поверхности возникает сила реакции, которая имеет две составляющие – нормальную и силу трения скольжения (рисунок 2.1). Сила трения скольжения, приложенная к одному из трущихся тел, направлена противоположно его скорости относительно второго тела.

Рисунок 2.1

В результате экспериментальных исследований были установлены законы Амонтона-Кулона :

1) сила трения скольжения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного скольжения тела под действием активных сил. Величина силы трения зависит от активных сил и заключена между нулем и своим максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия (0 ≤ F тр ≤ F тр max );

2) максимальное значение силы трения скольжения не зависит от площади контакта, а определяется величиной нормальной реакции, материалом и состоянием контактирующих поверхностей;

F тр max = fN ,

где f коэффициент трения скольжения , который является безразмерной величиной и зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, а также от скорости движения тела и удельного давления.

Экспериментально установлено, что f < f сц .

Рассмотрим твердое тело на шероховатой поверхности (рисунок 2.2), находящееся под действием активных сил в предельном состоянии равновесия, т.е. когда сила трения достигает своего наибольшего значения при данном значении нормальной реакции.

В этом случае полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали к общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол (R max ). Этот наибольший угол между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции и направлением нормальной реакции, называется углом трения φ :

tgφ = F тр max /N = fN/N = f .

Рисунок 2.2

Рисунок 2.3

Конус трения – поверхность, образованная линией действия максимальной реакции опорной поверхности при движении тела в различных направлениях (рисунок 2.2).

При равновесии тела на шероховатой поверхности под действием силы P (рисунок 2.3) можно составить два уравнения равновесия:

ΣF kx = 0 ; Psinα - F тр = 0 ;

ΣF ky = 0 ; - Pcosα + N = 0 .

Следовательно,

Для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину.

Никакая сила, лежащая внутри конуса трения, не может вывести тело из состояния равновесия.

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Вследствие деформации тел их касание происходит вдоль площадкиAB (рисунок 2.4, а), появляется распределенная система сил реакции (рисунок 2.4, б), которая может быть заменена силой и парой (рисунок 2.4, в).

Сила раскладывается на две составляющие – нормальную и силу трения скольжения. Пара сил называется моментом сопротивления качению M c .

Рисунок 2.4

При равновесии тела момент сопротивления качению определяется из условий равновесия системы сил. При этом установлено, что момент сопротивления принимает значения от нуля до максимального значения. Максимальное значение момента сопротивления, соответствующее началу качения, определяется равенством

M c max = Nδ ,

где δ коэффициент трения качения , имеет размерность длины [м], зависит от материала контактирующих тел и геометрии зоны контакта.

Различают:

чистое качение – точка A (рисунок 2.4) не скользит по неподвижной плоскости;

качение со скольжением – наряду с вращением катка присутствует и проскальзывание в месте контакта, т.е. точка A движется по плоскости;

чистое скольжение – каток движется по плоскости, не имея вращения (см. п.2.1).

Для того, чтобы каток не скользил, необходимо условие F тр < F тр max ; чтобы каток не катился – M c < M c max = δN .

Также существует трение верчения – когда активные силы стремятся вращать тело вокруг нормали к общей касательной поверхности соприкосновения.

Трением скольжения называется сопротивление, возникающее при относительном скольжении двух соприкасающихся тел. Поэтому сила трения скольжения, приложенная к одному из трущихся тел, направлена противоположно его скорости относительно второго тела.

Опытным путем установлено, что величина силы трения скольжения пропорциональна нормальному давлению одного из трущихся тел на другое, т. е.

Коэффициент пропорциональности (отвлеченное число) называется коэффициентом трения скольжения

Как показывает опыт, величина этого коэффициента зависит от материала трущихся тел, от состояния их поверхностей, а также от их относительной скорости.

Если трущиеся тела находятся в покое, то в этом случае трение называется статическим Максимальная величина силы статического трения, т. е. величина этой силы, соответствующая моменту начала относительного скольжения трущихся тел, определяется по той же формуле, что и в случае трения при относительном движении, т. е.

где - статический коэффициент трения.

Этот коэффициент обычно несколько больше коэффициента трения при движении. Отсюда следует, что величина силы статического трения всегда удовлетворяет условию:

Благодаря наличию силы трения между данным телом и опорной поверхностью полная реакция R этой поверхности есть равнодействующая двух сил: нормальной реакции N и силы трения (рис. 51).

Угол между направлениями нормальной реакции и полной реакции R, соответствующий максимальному значению силы трения, называется углом трения.

Отсюда следует, что

Метод решения задач статики при наличии трения остается таким же, как и в случае отсутствия трения, т. е. сводится к составлению и решению уравнений равновесия, но только в эти уравнения, кроме заданных сил, приложенных к данному телу, и тех реакций, которые рассматривались в предыдущей главе, войдут еще и силы трения. При этом следует иметь в виду, что в таких задачах расчет ведется обычно на максимальную величину сил трения, а потому эти силы определяются по формуле

Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной плоскости, когда на него действует горизонтальная активная сила S;кроме нее, действует сила тяжести Р, а также нормальная реакция N и сила трения Т (рис. 6.10, а). Как показывает опыт, при достаточно малой величине силы S цилиндр остается в покое. Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением сил, изображенных на рис. 6.10, а. Согласно этой схеме равно­весие невозможно, так как главный момент всех сил, действую­щих на цилиндр Mcz : = - Sr , отличен от нуля и одно из условий равновесия не выполняется.

Причина выявившегося несоответствия состоит в том, что в наших рассуждениях мы продолжаем пользоваться представ­лением об абсолютно твердом теле и предполагаем касание цилиндрас поверхностью происходящим по образующей. Для устранения отмеченного не­соответствия теории с опы­том необходимо отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела и учесть, что в действительности ци­линдр и плоскость вблизи точки С деформируются и существует некоторая пло­щадь соприкосновения ко­нечной ширины. Вслед­ствие этого в ее правой части цилинлр прижимает­ся сильнее, чем в левой, и полная реакция R при­ложена правее точки С (см. точку С 1 на рис. 6.10, б). Полученная теперь схе­ма действующих сил ста­тически удовлетворитель­на, так как момент пары (S, Т) может уравновеситься моментом пары (N, Р). Считая де­формацию малой, заменим эту систему сил системой, изображен­ной на рис. 6.7, в. В отличие от первой схемы (рис. 6.10, а), к цилиндру приложена пара сил с моментом Мт=Nh (6.11)

Этот момент называется моментом трения качения. Составим уравнения равновесия цилиндра: S-T=0, N-P=0, -Sr+Mt=0 (6-12)

Первые два, уравнения дают T=S, N = P , а из третьего урав­нения можно найти М Т. Затем из (6.11) определяем расстояние между точками С и С1: h = Sr / P (6.13)

Как видно, с увеличением модуля активной силы S растет рас­стояние h. Но это расстояние связано с площадью поверхности контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличи­ваться. Это значит, что наступит такое состояние, когда увели­чение силы S приведет к нарушению равновесия. Обозначим максимально возможную величину h буквой δ (см. рис. 6.10, б). Экспериментально установлено, что величина δ пропорциональна радиусу цилиндра и различна для разных материалов.

Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие h≤δ (6.14)

Величина δ называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также запи­сать в виде Mт≤δN(6.15)

или, учитывая (6.12), S ≤δN/r (6.15)

Очевидно, что максимальный мо­мент трения качения Mтmax = 8 N про­порционален силе нормального давления. В справочных таблицах приводится отношение коэффициента трения качения к радиусу цилиндра (К = 8/г) для различных материалов

38. Чистый сдвиг

Ч
истый сдвиг
- напряженное состояние, при котором по взаимно перпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательные напряжения. Касательные напряжения τ=Q/F, где Q - сила, действующая вдоль грани, F - площадь грани. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них - наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение, происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частный случай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: σ 1 =-σ 3 σ 2 =0 Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45 о.

При деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, квадрат превращается в ромб.  - абсолютный сдвиг,   δ/а - относительный сдвиг или угол сдвига .

Закон Гука при сдвиге :γ=τ/G или τ=Gγ. G - модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] - постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге.G=E/2(1+µ) (Е - модуль упругости, - коэффициент Пуассона).

Потенциальная энергия при сдвиге: U=δQ/V=Q 2 a/2GF.

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: u=U/V=Q 2 a/2GFaF ,где V=аF - объем элемента. Учитывая закон Гука, u=τ 2 /2G.

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

напряженность

τ=P/ℓδ τ =M вн /2πR 2 δ σ α = τ ABsinα+ τ BCcosα σ τ α = τ ABcosα- τ BCsinα

AB=AC cos α, BC=AC sin α.

Отсюда следует, что: σ α = τ sin2α τ α = τ cos2α

15. Центр тяжести твердого тела – точка, неизменно связанная с этим телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела при любом положении тела в пространстве. При этом поле тяжести считается однородным, т.е. силы тяжести частиц тела параллельны друг другу и сохраняют постоянную величину при любых поворотах тела. Координаты центра тяжести:

;
;
, где Р=р k , x k ,y k ,z k – координаты точек приложения сил тяжести р k . Центр тяжести – геометрическая точка и может лежать и вне пределов тела (например, кольцо). Центр тяжести плоской фигуры:


, F k – элементарная площадка, F – площадь фигуры. Если площадь нельзя разбить на несколько конечных частей, то
. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси. Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2:
; кругового сектора:
; треугольник: в точке пересеч. медиан (1/3 медианы от основания).

Статический момент площади плоской фигуры – сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения расстояний до некоторой оси. S x =y i F i = Fy c ; S y =x i F i = Fx c .

Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести:

Т.1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Т.2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Т.3. Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести, V=2x c F.

Т
.4. Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести,F=2x c L.

Определяя положение центра тяжести плоской фигуры с вырезанной из нее частью, можно считать площадь этой части отрицательной и тогда:
и т.д. - способ отрицательных площадей (объемов).

24.Теорема о сложении скоростей :
,; рчастныепоэтому скорость его конца
и т.д.,: ,

; – относительная скорость.

; переносная скорость:
, поэтому абсолютная скорость точки = геометрической сумме ее переносной (v e) и относительной (v r) скоростей
, модуль:.

Если к твердому телу, покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, приложить горизонтальную силу F , то действие этой силы вызовет появление силы сцепления F сц = - F , представляющей собой силу противодействия плоскости смещению тела. Благодаря силе трения тело остается в покое при изменении модуля силы F от нуля до некоторого значения F max .

Модуль силы сцепления также изменяется от 0 до F сц max в момент начала движения. Модуль максимальной силы сцепления пропорционален нормальному давлению N тела на плоскость, т.е. F сц max = f сц N .

Коэффициент пропорциональности f сц является безразмерной величиной и называется коэффициентом сцепления (трения), который зависит от материала и физического состояния соприкасающихся тел и определяется экспериментально.

Сила тренияпокоя сила, возникающая на границе соприкасающихся тел при отсутствии их относительного движения .

Сила трения покоя направлена по касательной к поверхности соприкасающихся тел (рис. 10) в сторону, противоположную силе F, и равна ей по величине: Fтр = - F.

При увеличении модуля силы F изгиб зацепившихся зазубрин будет возрастать и, в конце концов, они начнут ломаться и тело придёт в движение.

Сила трения скольжения это сила, возникающая на границе соприкасающихся тел при их относительном движении .

Вектор силы трения скольжения направлен противоположно вектору скорости движения тела относительно поверхности, по которой оно скользит.

Тело, скользящее по твёрдой поверхности, прижимается к ней силой тяжести Р, направленной по нормали. В результате этого поверхность прогибается и появляется сила упругости N (сила нормального давления или реакция опоры), которая компенсирует прижимающую силу Р (N = - P).

Чем больше сила N, тем глубже сцепление зазубрин и тем труднее их сломать. Опыт показывает, что модуль силы трения скольжения пропорционален силе нормального давления:

Безразмерный коэффициент μ называется коэффициентом трения скольжения. Он зависит от материалов соприкасающихся поверхностей и степени их шлифовки. Например, при передвижении на лыжах коэффициент трения зависит от качества смазки (современные дорогостоящие смазки), поверхности лыжни (мягкая, сыпучая, уплотнённая, оледенелая) тем или иным состоянием снега в зависимости от температуры и влажности воздуха и др. Большое количество переменных факторов делает сам коэффициент непостоянным. Если коэффициент трения лежит в пределах 0,045 – 0, 055 скольжение считается хорошим.



Трение скольжения. Коэффициент трения. Угол и косинус трения.

Коэффициент трения устанавливает пропорциональность между силой трения и силой нормального давления, прижимающей тело к опоре. Коэффициент трения является совокупной характеристикой пары материалов которые соприкасаются и не зависит от площади соприкосновения тел.

Виды трения.

Трение покоя проявляется в том случае, если тело находившееся в состоянии покоя, приводится в движение. Коэффициент трения покоя обозначается μ 0 .

Трение скольжения проявляется при наличии движения тела, и оно значительно меньше трения покоя.

μ ск < μ 0

Трение качения проявляется в том случае, когда тело катится по опоре, и оно значительно меньше трения скольжения.

μ кач << μ ск

Сила трения качения зависит от радиуса катящегося предмета. В типичных случаях (при расчетах трения качения колес поезда или автомобиля), когда радиус колеса известен и постоянен, его учитывают непосредственно в коэффициенте трения качения μ кач .

Определение коэффициента трения

Коэффициент трения можно определить экспериментально. Для этого помещают тело на наклонную плоскость, и определяют угол наклона при котором:

Коэффициент трения покоя

тело начинает двигаться
(коэффициент трения покоя μ 0 )

3.4.1 Равновесие твердого тела при наличии трения скольжения

Трением скольжения называется сопротивление, возникающее при относительном скольжении двух соприкасающихся тел.

Величина силы трения скольжения пропорциональна нормальному давлению одного из соприкасающихся тел на другое:

Реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали на некоторый угол φ (рис. 3.7). Наибольший угол , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения.

Рис. 3.7
Реакция слагается из двух составляющих: нормальной реакции и перпендикулярной ей силы трения , которая направлена противоположно возможному перемещению тела. Если твердое тело на шероховатой поверхности находится в покое, то в этом случае трение называется статическим. Максимальная величина силы статического трения определяется равенством

где статический коэффициент трения.

Этот коэффициент обычно больше коэффициента трения при движении.

Из рис. 3.7 видно, что угол трения равен значению

. (3.26)

Равенство (3.26) выражает связь между углом трения и коэффициентом трения.

Методика решения задач статики при наличии трения остается такой же, как и в случае отсутствия трения, т. е. сводится к составлению и решению уравнений равновесия. При этом реакцию шероховатой поверхности следует представить двумя составляющими - нормальной реакцией и силой трения.

Следует иметь в виду, что в таких задачах расчет ведется обычно на максимальную величину силы трения, которая определяется формулой (3.25).

Пример 3.6:

Груз А веса Q лежит на шероховатой плоскости, наклоненной к

горизонту под углом α, и удерживается нитью, намотанной на ступень блока радиуса R. При каком весе Р груза В система будет находиться в равновесии, если коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен f , а радиус меньшей ступени блока (рис. 3.8).

Рассмотрим равновесие груза В, на который действует сила тяжести и реакция нити , причем численно (рис. 3.8 , а). На груз А действуют сила тяжести , реакция нити, нормальная реакция наклонной плоскости и сила трения . Так как радиус r меньшей ступени блока в два раза меньше большей ступени, то в положении равновесия , или



Рассмотрим случай, при котором существует равновесие груза А, но так, что увеличение силы тяжести P груза В вызовет перемещение груза А вверх (рис. 3.8, б). В этом случае сила трения направлена вниз по наклонной плоскости, причем . Выберем оси х и у, указанные на рисунке, и составим два уравнения равновесия системы сходящихся сил на плоскости:

(3.27)

Получим, что , тогда сила трения .

Подставим в равенство (3.27) значения и , найдем величину Р :

Теперь рассмотрим случай, когда существует равновесие груза А, но так, что уменьшение силы тяжести Р груза В вызовет перемещение груза А вниз (рис. 3.8, в). Тогда сила трения будет направлена вверх по наклонной плоскости. Так как значение N не изменится, то достаточно составить одно уравнение в проекции на ось х:

. (3.29)

Подставив в равенство (3.29) значения и , получим, что

Таким образом, равновесие данной системы будет возможно при условии

3.4.2. Равновесие твердого тела при наличии трения качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Представление о природе трения качения можно получить, выходя за пределы статики твердого тела. Рассмотрим цилиндрический каток радиуса R и веса Р , опирающийся на горизонтальную плоскость. Приложим к оси катка силу , меньшую силы трения (рис. 3.9, а). Тогда сила трения , численно равная , препятствует скольжению цилиндра по плоскости. Если нормальная реакция приложена в точке А, то она уравновесит силу , а силы и образуют пару, вызывающую качение цилиндра даже при малом значении силы S.

В действительности, вследствие деформаций тел касание их происходит вдоль некоторой площади АВ (рис. 3.9, б). При действии силы интенсивность давления у точки А убывает, а у точки В возрастает. В результате нормальная реакция смещается в сторону действия силы на величину k , которая называется коэффициентом трения качения. Этот коэффициент измеряется в единицах длины.

В идеальном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил с моментом и вторая пара сил , удерживающая каток в равновесии. Момент пары, называемый моментом трения качения, определяется формулой

Из этого равенства следует, что для того, чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения качения была меньше максимальной силы трения скольжения: , где f - коэффициент трения скольжения. Таким образом, чистое качение возможно при условии .

Следует различать направление смещения точки приложения нормальной реакции ведущего и ведомого колеса. Для ведущего колеса деформационный валик, вызывающий смещение точки приложения нормальной реакции плоскости, находится слева от его центра С, если колесо будет двигаться вправо. Поэтому для этого колеса направление силы трения совпадает с направлением его движения (рис. 3.10, а). В ведомом колесе деформационный валик смещен относительно центра С в направлении движения. Следовательно, сила трения в этом случае направлена в сторону, противоположную направлению движения центра колеса.

Пример 3.7:

Цилиндр веса Р =10 Н и радиуса R = 0,1 м находится на шероховатой плоскости, наклоненной под углом α = 30˚ к горизонту. К оси цилиндра привязана нить, перекинутая через блок и несущая на другом конце груз В. При каком весе Q груза В цилиндр не покатится, если коэффициент трения качения равен k = 0,01 м (рис. 3.11, а)?

Рассмотрим равновесие цилиндра в двух случаях. Если величина силы Q имеет наименьшее значение, то возможно движение цилиндра вниз по наклонной плоскости (рис. 3.11, б). К цилиндру приложены вес цилиндра и натяжение нити . В этом случае нормальная реакция наклонной плоскости будет смещена на расстояние k влево от перпендикуляра, опущенного из центра цилиндра на наклонную плоскость. Сила трения направлена вдоль наклонной плоскости противоположно возможному движению центра цилиндра.

Рис. 3.11

Для определения значения достаточно составить уравнение равновесия относительно точки С . При вычислении момента силы относительно этой точки силу разложим на составляющие: составляющая перпендикулярна наклонной плоскости, а составляющая параллельна этой плоскости. Момент силы и относительно точки С равны нулю, т. к. они приложены в этой точке:

Откуда

Во втором случае, когда сила Q достигает максимального значения, возможно перемещение центра цилиндра вверх по наклонной плоскости (рис. 3.11, в). Тогда силы и будут направлены аналогично первому случаю. Реакция , наклонной плоскости будет приложена в точке и смещена на расстояние k вправо по наклонной плоскости. Сила трения направлена противоположно возможному движению центра цилиндра. Составим уравнение моментов относительно точки .